Глава 1. Сведения из алгебры

1.1.  Множества и алгоритмы

1.2.  Группы

1.3.  Коммутативные кольца

1.4.  Поля

1.5.  Мнимые квадратичные порядки

Глава 2.  Эллиптические кривые

2.1.  Алгебраические кривые

2.1.1. Аффинная  и проективная плоскости

2.1.2. Сложение  точек на кубике

2.1.3. Пересечение  кубики и прямой. Особые точки

2.2.  Функции и отображения алгебраических кривых

2.2.1. Регулярные  функции и регулярные отображения

2.2.2. Рациональные  функции и рациональные отображения

2.3.  Дивизоры на алгебраических кривых

2.4.  Нормальные формы эллиптической кривой

2.5.  Эллиптические кривые  над полем комплексных чисел

2.5.1. Эллиптические  функции

2.5.2. Параметризация  эллиптической кривой эллиптическими  функциями

2.5.4. Изоморфизмы  и эндоморфизмы эллиптических кривых

2.5.5. Модулярная  функция j

2.5.6. Модулярный  полином и модулярная кривая

2.5.7. Поле классов  мнимого квадратичного порядка

2.6.  Дискриминант и j-инвариант

2.7.  Закон сложения точек эллиптической кривой

2.8.  Эллиптические кривые над числовыми полями

2.9.  Отображения эллиптических кривых

2.9.1. Функции  на эллиптических кривых

2.9.2. Отображение  Фробениуса

2.9.3. Формальная  группа

2.9.4. Изоморфизмы  эллиптических кривых

2.9.5. Эндоморфизмы  эллиптических кривых

2.9.6. Изогении  эллиптических кривых

2.10. Спаривание Вейля

2.11. Эллиптические кривые над конечными полями и кольцами

2.11.1. Число точек

2.11.2. Изогении

2.11.3. Эллиптические  кривые над кольцами  /n

Глава 3.  Криптосистемы на эллиптических кривых

3.1.  Установление сеансового ключа

3.2.  Цифровая подпись

3.2.1. Стандарт  подписи ECDSA

3.2.2. Стандарт  подписи РФ ГОСТ Р 34.10-2001

3.2.3. Стандарт  подписи Германии

3.2.4. Короткая  подпись на билинейных отображениях

3.3.  Шифрование с открытым ключом

3.3.1. Шифрование  по Эль-Гамалю

3.3.2. Гомоморфное  шифрование с открытым ключом

3.4.  Генераторы случайной последовательности

3.5.  Безопасность криптосистем на эллиптических кривых

3.6.  Криптосистемы на изогениях эллиптических кривых

Глава 4.  Вычислительные алгоритмы

4.1.  Алгоритмы умножения чисел и полиномов

4.1.1. Модульное  умножение

4.1.2. Умножение  в конечных полях характеристики 2, 3

4.2.  Деление

4.2.1. Деление  в кольце

4.2.2. Деление  в евклидовых кольцах целых  алгебраических чисел

4.3.  Обращение и вычисление наибольшего общего делителя

4.4.  Решение алгебраических уравнений в конечных полях

4.4.1. Извлечение  квадратных и кубических корней

4.4.2. Решение  алгебраических уравнений

4.5.  Вычисление символа Якоби

4.6.  Проверка чисел и полиномов над конечным полем на простоту

4.7.  Разложение простого числа в мнимом квадратичном порядке

4.8.  Сложение и комплексное умножение точек эллиптической кривой

4.9.  Умножение точки на число

4.9.1. Двоичное  окно

4.9.2. Окно размером  несколько бит

4.10. Вычисление билинейных отображений на эллиптической кривой

4.11. Арифметика группы классов мнимых квадратичных порядков

4.12. Вычисление числа классов и группы классов мнимого квадратичного порядка

4.13. Вычисление полинома, задающего поле классов мнимого квадратичного порядка

4.14. Генерация эллиптической кривой над конечным полем с вычислимым числом точек

4.15. Разложение составного числа

4.16. Генерация эллиптической кривой с вычислимой степенью расширения для спаривания Вейля

4.17. Эллиптическая кривая с заданным числом изогений

4.18. Вычисление числа точек эллиптической кривой над конечным полем

4.18.1. Алгоритм  Чуфа

4.18.2. Алгоритм SEA

4.19. Вычисление изогений

Литература

Приложение 1. Алгебраические и численные вычисления в пакетах MATHEMATICA, MAPLE

Приложение 2. Программа  генерации эллиптической кривой в пакете MATHEMATICA

Приложение 3. Гиперэллиптические кривые рода 2

Указатель

НАЗАД