ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора
Глава 1. Великая тайна Леонарда Эйлера
§ 1-01. Путешествие в «рай»
1. Леонард Эйлер. Начало пути
2. Траурная месса в Лондоне
3. Навстречу судьбе
4. Не было счастья, да несчастье помогло
5. Начало раскола в механике Ньютона
6. Первый успех
§ 1-02. Волчок. Задача барона Мюнхгаузена
1. Волчок «бросил перчатку» ученым
2. Неужели принцип причинности разрушен?
3. Почему мельничные жернова увеличивают давление на зерно?
4. О, святая простота!
5. Счастье долгим не бывает
§ 1-03. Странная история
1. Откуда появился парадокс исчезновения «правила параллелограмма»?
2. Сохраняется ли «правило параллелограмма» для ускорений?
§ 1-04. Странные силы инерции…
1. О том, как «простое» становится сложным
2. Божьи жернова мелют медленно, но верно
3. Теорема Эйлера о происхождении сил инерции
4. Исаак Ньютон. Жертвоприношение
5. «Задача, которую легко никто не решит...» (Д. Бернулли)
§ 1-05. Великий Перелом
1. «Карету мне, карету»!
2. Открытие нового принципа механики
3. Загадка волчка безжалостно разрушает «точечную» механику Ньютона
4. Крушение иллюзий
§ 1-06. О том, как Эйлер выводил динамические уравнения
1. В принципе, идея была простой
2. «Ноу-хау» для быстрого вывода уравнений Эйлера
3. Уравнение Эйлера можно вывести еще короче
§ 1-07. Звезда с темным прошлым
1. О том, как Эйлеру удалось сделать тензор инерции постоянным
2. «Камень преткновения»
3. Рождение Великой Тайны
4. Почему «исчез» полный первый интеграл?
5. Осень патриарха
6. Это случилось в Париже… Жан Д'Аламбер
§ 1-08. Ящик Пандоры
1. Концепция Эйлера в противовес доктрине Ньютона
2. Противостояние
3. Ничто не предвещало беды
§ 1-09. Поражения начинаются со страха
1. Тоннель ужасов
2. Порочный круг
3. Жозеф Лагранж. Поиск своего пути
4. История эта случилась давно
5. Открывается ниша правды и имя ее — «Безмолвие»
6. Сложность простых истин
7. В ту ночь Лагранж не смог уснуть
8. «Мне кажется, что руда слишком глубокая…» (Ж. Лагранж)
9. Это огромное радостное погребение
Глава 2. Королевство Кривых Зеркал
§ 2-01. Первые интегралы динамических уравнений
1. Случай Эйлера
2. Понятие первого интеграла
3. Роковая ошибка
4. Интеграл энергии для «случая Эйлера»
5. Интеграл модуля кинетического момента
6. Проблема третьего интеграла
7. Существует ли третий интеграл в «случае Эйлера» для несимметричного волчка (при A ≠ C ≠ B ≠ A )?
8. Как возникает эллиптическая квадратура?
9. Еще одно доказательство отсутствия интегрируемости?
10. Пришла беда — открывай ворота
11. Крепкий орешек
§ 2-02. Лагранж. Путь на Голгофу
1. Тяжелый крест
2. Вкус поражения
3. «Хэппи-энда» не получилось
4. Топь болотная
5. Бумеранг возвращается
6. Лагранж: «Я завершил свой путь…»
7. Эстафета нерешенных проблем. Бессмертие
§ 2-03. Кинематические формулы для модели движения волчка
1. Две модели движения тела относительно неподвижной точки
2. О «черных дырах» в динамике твердого тела
3. О геометрии поворотов твердого тела вокруг неподвижной точки
§ 2-04. Кинематические формулы для модели твердого тела. Понятие тензора инерции
1. Формула Эйлера
2. Кинетическая энергия волчка
3. О представлении тензора инерции в неподвижном и подвижном базисе
4. О структуре тензора инерции в «модели Лагранжа»
§ 2-05. Немного линейной алгебры
1. О свойствах ортогональной матрицы поворота тела
2. Об уравнениях Пуассона первого типа
3. Уравнения Пуассона второго типа
§ 2-06. Королевство треснутых зеркал
1. То, что на первый взгляд смешно, на деле может показаться опасным
2. Комедия глухонемоты
§ 2-07. О том, как надо правильно выводить уравнения Эйлера для тяжелого волчка
1. Давайте запомним эту главную идею
2. Как преобразовать левую часть уравнений Эйлера?
3. Момент силы тяжести относительно неподвижной точки
4. Как спроектировать момент силы тяжести на подвижные «вмороженные» оси?
§ 2-08. Убийство смысла
1. Уравнение Пуассона («первого типа»)
2. Роковая неудача Дарбу
3. Странная история
4. Каждый играет в своей песочнице
5. Старая песня о главном
6. Другие правила другой игры
§ 2-09. По ту сторону Зазеркалья
1. Странный мир Королевства Кривых Зеркал
2. «Великий Инкогнито» снимает маску
3. Веселый парадокс
4. Творцы Франкенштейнов
§ 2-10. Тайна с двумя секретами. Классические первые интегралы для тяжелого волчка
1. Интеграл энергии для «тяжелого волчка» («модель Лагранжа»)
2. Второй интеграл — постоянство проекции кинетического момента на вертикаль
3. О геометрическом смысле интеграла
4. Это не «интеграл площадей»
5. Третий интеграл — «тривиальный»
6. Еще один классический интеграл. «Случай Лагранжа»
7. Последний бросок
§ 2-11. Потерян Золотой Ключик!
1. Если не знаешь куда плыть, то никакой ветер не бывает попутным
2. Тлеющие угли недовольства потушил Лагранж
3. Это бумажные львы и слова их — папье-маше
4. Разрушенная логика рождает парадоксы
§ 2-12. Это не ошибка. Это то, чему еще название не придумали
1. Луи Пуансо. Отчаянность рождает надежду
2. Какую тайну приоткрыл Луи Пуансо?
3. Вход там, где выход
4. Лагранж был не согласен с Пуансо
5. «Мавр сделал свое дело…»
6. О геометрической картине движения Пуансо
7. Алгоритм хаоса запущен на полную мощь. Великая Смута и Эпоха хаоса
Глава 3. «Принц» и «Русалка»
§ 3-01. Уравнения со всеми неизвестными
1. Праздник общей беды
2. Операция «Скобка Пуассона»
3. Неожиданно испорченный праздник
4. «Расчлененка». Идея Якоби
5. Графство сэра Гамильтона
6. Ведро неприятностей. Метод Гамильтона — Якоби
7. Задача трех тел. Вместо праздника — похороны
8. Неужели уравнения Эйлера — Пуассона тоже не интегрируются?
§ 3-02. Гори, гори моя звезда!
1. Софья Ковалевская и Карл Вейерштрасс. Love story
2. Сомнения тревожат душу
3. Опустела без тебя земля
4. Возвращение в Европу
5. Опасные иллюзии
6. «Вейерштрасс утешает меня…»
§ 3-03. «Математическая русалка»
1. Открытие! Интеграл Ковалевской
2. Невод с большими дырками
3. «Черная дыра»
4. Королевский дебют
§ 3-04. Парижский дебют
1. «У меня будут некоторые шансы получить эту премию…»
2. «Говори, что знаешь; делай, что обязан; будь, чему быть»
3. Золотой финал
4. «…Вы всегда были и будете славой нашей родины»
§ 3-05. Ну, и что в эндшпиле?
1. Пуанкаре встревожен
2. «Математический принц»
3. Жизнь продолжается
Глава 4. Необычайные приключения великих уравнений
§ 4-01. Расставание с иллюзиями
1. Кажется, астрономия решила опровергнуть законы классической динамики.
2. Неважно, какого цвета кошка, лишь бы она мышей ловила
3. «Скелеты в шкафу»
4. Пять новых интегралов для волчка, до сих пор не известные классической механике
§ 4-02. О чем молчит классическая механика?
1. Интрига
2. И все-таки, интеграл Ковалевской не является частью «случая Лагранжа»
3. Ловушка
4. Все пошло наперекосяк
5. Чем меньше мы знаем, тем больше боимся
6. Еще один общий интеграл, «похожий на интеграл Ковалевской»? Почему его никто не заметил?
7. Что-то в жизни происходит вне логики
§ 4-03. Гибельные алгоритмы хаоса
1. Истины, которых мы боимся
2. Большая рыба в маленьком пруду
3. Вымыслы нашей реальности
4. Тихая патология
5. Как забить гол в свои ворота
6. О том, как теоретики «вместе с водой выплеснули ребенка»
7. Триумф победившего хаоса
8. Игра «как аукнется, так и откликнется»
§ 4-04. «Нашла коса на камень»
1. Своя душа — потемки
2. Эндшпиль отложен
3. Познавательный тупик
4. Спусковой крючок катастрофы
5. Наказание Господне
6. О том, как Великий Хаос вырос в «Лес Непроходимых Проблем»
7. Генетический код катастрофы
8. Ключевое звено в синтезе фальшивых формул
§ 4-05. Репетиция реквиема
1. Если «нельзя», но очень хочется, то — «можно»
2. Миссия невыполнима?
3. Все готово для блицкрига
4. «Абсолютно-относительное дифференцирование». Формула Бура
5. Как говорят в Одессе: «Это две большие разницы»
6. Действительно ли эта «курица несет золотые яйца?»
7. С формулой кинетического момента тоже повезло
8. Почему «формула Эйлера» для «вмороженного» вектора является фальшивой?
9. Из осинки не родятся апельсинки
§ 4-06. Ловушка для простаков.
1. Ритуальные пляски
2. Игра начинается. Следите за руками!
3. «Лохотрон» для «чайников»
4. «Козырной туз из рукава»
5. Фальшивая подмена
§ 4-07. Раз ничего непонятно, значит, все можно
1. Драйв нелогичных поступков
2. Банальные ошибки
3. Как исправить ошибки в известном учебнике?
4. Честно жить выгодно. «Джек-пот»
§ 4-08. Шкаф, в котором одни скелеты
1. Открывайте закрытые двери. Ключ в ваших руках
2. Еще одно доказательство, что формулы Пуассона являются фальшивыми
3. О ложной «инвариантности» формул Пуассона
4. Закулисные тайны «круговой поруки»
5. «Ларчик» открывается просто
§ 4-09. «Белые одежды»
1. Тормозные колодки
2. Кость в горле
3. Главное — не наступать ежедневно на одни и те же грабли
4. Дипломатические танцы на паркете
5. Как протащить слона в ушко иголки?
6. Халява, плиз-з
7. Куда-то делась привычка задавать вопросы по сути
§ 4-10. Давайте называть вещи своими именами
1. Ход «троянским конем»
2. Как «сохранить лицо» при скверной игре?
3. Нельзя менять правила по ходу игры, даже если ты играешь белыми
4. Два мифа об уравнении Пуассона
5. Как правильно вывести уравнения Пуассона?
Глава 5. Никогда не говори «никогда»
§ 5-01. Уравнения движения тяжелого волчка(«модель Ковалевской»)
1. Построение ортогональной матрицы пространственного поворота тела
2. Сферическая система координат для ЦМ тела
3. Математическая модель вращения волчка относительно ЦМ
4. О свойствах ортогональной матрицы поворота тела
5. Еще раз об уравнениях Пуассона первого и второго типа
§ 5-02. Формула Эйлера и ее свойства
1. О свойствах формулы Эйлера
2. Проекция вектора и оператора угловой скорости на «вмороженные» оси
3. О проекции на подвижные сферически-скоростные оси
4. О разложении кинематической формулы Эйлера на сумму переносной и относительной скорости
§ 5-03. Тензор инерции. Кинетическая энергия и кинетический момент в «модели Ковалевской»
1. О разложении тензора инерции
2. О представлении тензора инерции в неподвижном базисе
3. О проекции тензора инерции на неподвижные оси
4. Как вычислить кинетическую энергию твердого тела?
5. О разложении формулы кинетической энергии тела
6. Кинетический момент тела с одной неподвижной точкой
§ 5-04. Вывод уравнений движения волчка («модель Ковалевской»)
1. Технология преобразований левой части уравнений Эйлера
2. Как вычислить момент силы тяжести относительно неподвижной точки?
3. Динамические уравнения Эйлера для волчка («модель Ковалевской»)
§ 5-05. О трансформации интегралов в моделях Лагранжаи Ковалевской
1. О том, как попытка оказалась пыткой
2. Каков геометрический смысл моментов инерции?
3. Героическая борьба с последствиями
4. О трансформации первых интегралов
5. Как выглядит «волчок Ковалевской»?
§ 5-06. Простейшее понятие алгебры Ли. Пуассонова структура
1. Об изоморфизме между векторами и антисимметричными матрицами
2. О некоторых свойствах матричных и векторных операторов
3. Простейшее понятие алгебры Ли векторных полей
4. Пуассонова структура на алгебре Ли
§ 5-07. О представлении Лакса. Структура решенийдля A - L и L - A представлений
1. Что такое «представление Лакса»?
2. Примеры A - L и L - A представлений
3. О структуре решений матричных уравнений Лакса
4. Уравнения Эйлера и Пуассона полностью интегрируются
5. Об интегралах матричных уравнений Лакса
6. Примеры фундаментальных решений уравнений Лакса, Эйлера и Пуассона
§ 5-08. Полная система интегралов для «случая Эйлера»(«модель Лагранжа»)
1. О геометрическом смысле фундаментального решения уравнения Эйлера
2. Три независимых интеграла разрешаются относительно старших производных
3. Случай круговой симметрии A = B («модель Лагранжа»)
4. Пример определения значений для произвольных постоянных в случае A = B
5. Фундаментальное решение однородных уравнений Эйлера («модель Ковалевской»)
6. Известные интегралы следуют из фундаментального решения для «случая Эйлера»
§ 5-09. Полная система интегралов уравнений Эйлера — Пуассона для тяжелого несимметричного волчка ( A ≠ C ≠ B ≠ A )
1. Полный векторный интеграл для несимметричного тяжелого волчка
2. Полная система интегралов тождественно удовлетворяет уравнениям Эйлера — Пуассона
3. Второй способ проверки справедливости первого общего решения
4. Третий способ проверки справедливости решения
5. Из общего решения следует классический интеграл энергии
6. Из общего интеграла следует классический интеграл проекции кинетического момента
§ 5-10. О полной системе интегралов для уравнений Вольтера — Жуковского и для уравнений Эйлера — Кирхгофа
1. Об уравнении Вольтера — Жуковского и его полной системе интегралов
2. Уравнение Эйлера — Кирхгофа и его первые интегралы
3. Интеграл энергии для уравнения Кирхгофа
4. Интеграл проекции кинетического момента
для уравнения Эйлера — Кирхгофа
5. Полная система первых интегралов для уравнения
Эйлера — Кирхгофа
Цитируемая литература

НАЗАД